Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe

Lage zweier Ebenen

Das folgende 3D-Modell zeigt zwei parallele Ebenen. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

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Parallele Ebenen sind - wie im Bild oben ersichtlich - dadurch charakterisiert, dass die Normalenvektoren parallel sind, das heißt sie müssen die gleiche Richtung haben. Die Pfeilspitze darf aber auch am anderen Ende sitzen: Die sogenannte Orientierung muss nicht notwendigerweise gleich sein.

Das folgende 3D-Modell zeigt zwei Ebenen, deren Normalenvektoren nicht die gleiche Richtung haben. Daher schneiden sie sich. Die Menge der gemeinsamen Punkte dieser beiden Ebenen ergibt eine Schnittgerade.

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Zur rechnerischen Ermittlung der gegenseitigen Lage zweier Ebenen bringen wir mindestens eine der beiden Ebenen in Normalenform oder Koordinatenform. Wir unterscheiden nun zwei Möglichkeiten:

  1. Eine der beiden Ebenen liegt noch in Parameterform vor (Beispiele 1 - 3).
    Dann setzen wir diese Parameterform für \vec{x} oder für x_1, x_2, x_3 bzw. x, y, z in die andere Ebenengleichung ein. Nach Auflösen aller Klammern und Vereinfachen ergibt sich eine einfache Gleichung. Nun können wir 3 Fälle unterscheiden.
    1. Die Gleichung ist allgemeingültig, wie z.B. 0 = 0 oder 1 = 1. Dann sind die beiden Ebenen identisch.
    2. Die Gleichung ist unerfüllbar, wie z.B. 0 = 1. Dann liegen die beiden Ebenen echt parallel.
    3. Die Gleichung lässt sich nach einer der beiden Variablen auflösen. Dann schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Wir ermitteln diese, indem wir die aufgelöste Gleichung in die Parameterform einsetzen. Diese lässt sich dann zu einer Geraden vereinfachen. Das führen wir in Beispiel 3 vor.
  2. Beide Ebenen liegen in Normalenform oder Koordinatenform vor (Beispiele 4 und 5).
    Dann bringen wir beide Ebenen in Koordinatenform. Sie bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen. Die Lösungsmenge dieses LGS bildet den Schnitt. Ist sie leer, dann liegen die beiden Ebenen echt parallel. Ist eine der beiden Ebenengleichungen ein Vielfaches der anderen, dann sind die Ebenen identisch. Andernfalls können wir die Lösungsmenge in Abhängigkeit von einem Parameter schreiben. Diese bildet dann die Schnittgerade.

Abstand:
Schneiden sich die Ebenen oder sind sie identisch, ist ihr Abstand natürlich Null. Sind die Ebenen echt parallel, dann ist ihr Abstand gleich dem Abstand eines Punktes einer der beiden Ebenen zur anderen Ebene (siehe hier). Falls du die Hessesche Normalenform (HNF) kennst, kannst du auch beide Ebenen in diese Form bringen. Die Differenz der Absolutglieder in der HNF liefert dann den gesuchten Abstand.

Winkel:
Der Winkel zwischen 2 Ebenen errechnet sich aus dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Da stets der kleinste Schnittwinkel gesucht ist, kommen Winkel über 90 Grad nicht in Frage. Daher kannst du in der Formel zur Winkelberechnung im Zähler den Betrag nehmen. Sind \vec{n_1} und \vec{n_2} die Normalenvektoren der beiden Ebenen, dann errechnet sich ihr Schnittwinkel \alpha also durch

\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \ast \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \nachhilfe |\vec{n_2}|}.

Beispiel 1:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Ebenen

E_1: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} = 0.

Wir setzen E_1 für \vec{x} in E_2 ein und erhalten

\begin{align} \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad \left[\mathe{-4 \\ -2 \\ -5} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad \mathe{-4 \\ -2 \\ -5} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad 0 + r \nachhilfe 0 + s \nachhilfe 0 &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad 0 &= 0 \end{align}

Die Gleichung 0 = 0 ist allgemeingültig, also sind die Ebenen identisch.

Beispiel 2:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Ebenen

E_1: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} = 0.

Wir setzen E_1 für \vec{x} in E_2 ein und erhalten

\begin{align} \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad \left[\mathe{-4 \\ -2 \\ 1} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1}\right] \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad \mathe{-4 \\ -2 \\ 1} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \ast \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad 12 + r \nachhilfe 0 + s \nachhilfe 0 &= 0 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad 12 &= 0 \end{align}

Die Gleichung 12 = 0 ist unerfüllbar, also sind die Ebenen echt parallel.
In Koordinatenform lauten die beiden Ebenengleichungen

E_1: -3x + y + 2z = 17 \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad -3x + y + 2z = 5.

Nach Division durch die Länge des Normalenvektors \sqrt{14} ergibt sich

E_1: \frac{-3x + y + 2z}{\sqrt{14}} = \frac{17}{\sqrt{14}} \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad \frac{-3x + y + 2z}{\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{14}}.

Die beiden linken Seiten der Ebenengleichungen sind identisch. Die Differenz der beiden Absolutglieder auf der rechten Seite beträgt \frac{12}{\sqrt{14}}. Das ist damit der Abstand der parallelen Ebenen.

Beispiel 3:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Ebenen

E_1: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} = 0.

Wir setzen E_1 für \vec{x} in E_2 ein und erhalten

\begin{align} \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} - \mathe{5 \\ 4 \\ 8}\right] \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\ \Longleftrightarrow \qquad \left[\mathe{-4 \\ -2 \\ 1} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1}\right] \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\ \Longleftrightarrow \qquad \mathe{-4 \\ -2 \\ 1} \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} + s \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \ast \mathe{1 \\ 1 \\ 2} &= 0 \\ \Longleftrightarrow \qquad -4 + r \nachhilfe 8 + s \nachhilfe 4 &= 0 \\ \Longleftrightarrow \qquad s &= 1 - 2r \end{align}

Wir setzen diese Gleichung nun in E_1 ein, eliminieren damit s und erhalten die Schnittgerade:

\begin{align} g_s: \quad \vec{x} &= \mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + (1 - 2r) \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \\[15px] &= \mathe{1 \\ 2 \\ 9} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + 1 \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} - 2r \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1}\\[15px] &= \mathe{2 \\ 3 \\ 10} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} - 2r \nachhilfe \mathe{1 \\ 1 \\ 1} \\[15px] &= \mathe{2 \\ 3 \\ 10} + r \nachhilfe \mathe{0 \\ -2 \\ 1} \end{align}

Als Normalenvektor von E_1 können wir \mathe{-3 \\ 1 \\2} wählen. Der Schnittwinkel ergibt sich dann aus

\begin{align} \cos \alpha &= \frac{\left|\mathe{-3 \\ 1 \\2} \ast \mathe{1 \\ 1 \\2}\right|}{\left|\mathe{-3 \\ 1 \\2}\right| \nachhilfe \left|\mathe{1 \\ 1 \\2}\right|} \\[15px] &= \frac{2}{\sqrt{14} \nachhilfe \sqrt{6}} \\[15px] &\approx 0.21821789 \\[15px] \Longleftrightarrow \qquad \alpha &\approx 77{,}4 \text{ Grad}. \end{align}

Beispiel 4:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Ebenen

E_1: -9x + 3y + 6z = 17 \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad -3x + y + 2z = 5.

Multiplikation von E_2 mit 3 und Subtraktion von E_1 ergibt 0 = 2. Damit sind die Ebenen echt parallel. Zur Abstandbestimmung siehe Beispiel 2 am Ende.

Beispiel 5:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Ebenen

E_1: -3x + 1y + 2z = 17 \qquad \text{und} \qquad E_2: \quad x + y + 2z = 25.

Wir lösen dieses lineare Gleichungssystem:

\begin{array}{rcrcrcrl} -3x & + & 1y & + & 2z & = & 17 & \quad | (I + 3 \nachhilfe II)\\ x & + & y & + & 2z & = & 25 \\[30px] & & 4y & + & 8z & = & 92 \\ x & + & y & + & 2z & = & 25 & \quad |(II \nachhilfe (-4) + I)\\[30px] & & 4y & + & 8z & = & 92 \\ -4x & & & & & = & -8 & \\[30px] & & y & & & = & 23 - 2z \\ x & & & & & = & 2 \end{array}

Wir können die Lösungsmenge also schreiben als L = \{(2 | 23-2z | z) | z \in \R\}. Die Gleichung der Schnittgeraden lautet dann

\vec{x} = \mathe{2 \\ 23 -2z \\ z} = \mathe{2 \\ 23 \\ 0} + z \nachhilfe \mathe{0 \\ -2 \\ 1} \quad (z \in \R).

Diese ist identisch mit der in Beispiel 3 berechneten Schnittgerade.