Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe
Die dreieckige Pyramide

Ist die Grundfläche einer Pyramide ein Dreieck, dann spricht man von einer dreieckigen Pyramide.

Die beiden folgenden 3D-Modelle von dreieckigen Pyramiden können mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück. Alle Strecken, die in gleicher Farbe eingezeichnet sind, sind auch gleich lang.

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Zur Berechnung der Oberfläche addiert man die Grundfläche und die Flächen der 3 Seitendreiecke. Das Volumen berechnet sich - wie für alle Spitzkörper - nach der Formel
V = \frac{1}{3} \nachhilfe G \nachhilfe H.

Dabei ist G die Grundfläche und H die Höhe des Körpers.

Das obige 3D-Modell zeigt den Spezialfall einer Pyramide, die als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge a hat.

Die Grundfläche G berechnet sich in diesem Fall durch

G = \frac{\sqrt{3}}{4} \nachhilfe a^2.

Für das Volumen ergibt sich damit

V = \frac{1}{3} \nachhilfe \frac{\sqrt{3}}{4} \nachhilfe a^2 \nachhilfe H = \frac{\sqrt{3}}{12} \nachhilfe a^2 \nachhilfe H.

Für die Oberfläche dieser Pyramide mit Grundflächenhöhe h_g und Seitendreieckshöhe h_s erhalten wir

O = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_g + 3 \nachhilfe \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_s = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_g + \frac{3}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_s.

Wenn man h_g und h_s noch durch a und H ausdrückt so erhält man

O = \frac{\sqrt{3}}{4} \nachhilfe a^2 + \frac{3}{2} \nachhilfe a \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{1}{12} \nachhilfe a^2}.

Sind zusätzlich alle Kanten gleich lang, dann nennt man eine solche Pyramide auch Tetraeder (übersetzt: Vierflach). Das folgende 3D-Modell zeigt ein Tetraeder.

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Das Tetraeder ist einer der 5 platonischen Körper. Das Volumen und die Oberfläche eines Tetraeders berechnet man wie oben, mit dem einzigen Unterschied, dass in diesem Fall h_g und h_s gleich gross sind. Man erhält dann für Volumen und Oberfläche
O = \sqrt{3} \nachhilfe a^2 \quad \text{und} \quad V = \frac{\sqrt{2}}{12} \nachhilfe a^3.