Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe

Das viereckige Prisma

Viereckige Prismen haben als Grundfläche ein beliebiges Viereck. Auch hier wird das Volumen nach den Formeln für allgemeine Prismen berechnet, wobei die Grundfläche in diesem Fall die Fläche des Vierecks ist.

Die folgenden 3D-Modelle können mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück. Gleichfarbig eingezeichnete Strecken sind auch gleich lang.

Das unten dargestellte Prisma ist ein Quader mit den Seitenlängen a und b und der Höhe H.

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Das Volumen dieses Quaders berechnet sich durch

V = a \nachhilfe b \cdot H.

Da sich der Umfang durch U = 2a + 2b errechnet, gilt für die Oberfläche

O = 2 \cdot a \nachhilfe b + (2a + 2b) \cdot H.

Die Flächendiagonale c und die Raumdiagonale D errechnen sich nach dem Satz des Pythagoras durch

c = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{ und } \quad D = \sqrt{c^2 + H^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + H^2}.


Das nächste Prisma hat ein Quadrat als Grundfläche und wird daher manchmal auch quadratische Säule genannt.

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Für die Fläche des Quadrats mit Seitenlänge a gilt

A = a^2

Damit gilt für das Volumen des Prismas mit quadratischer Grundfläche und Höhe H

V = a^2 \nachhilfe H

und die Oberfläche

O = 2 \nachhilfe a^2 + 4 \nachhilfe a \nachhilfe H.

Die Flächendiagonale c und die Raumdiagonale D errechnen sich nach dem Satz des Pythagoras durch

c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \nachhilfe a \quad \text{ und } \quad D = \sqrt{c^2 + H^2} = \sqrt{2a^2 + H^2}.

Das letzte hier dargestellte Prisma ist der Würfel. Er hat als Seitenflächen sechs kongruente (deckungsgleiche) Quadrate.

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Da die Höhe des Würfels gleich der Grundkantenlänge ist, gilt für das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge a

V = a^3

und für die Oberfläche

O = 6 \nachhilfe a^2.

Die Flächendiagonale c und die Raumdiagonale D errechnen sich nach dem Satz des Pythagoras durch

c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \nachhilfe a \quad \text{ und } \quad D = \sqrt{c^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3} \nachhilfe a.